氏名: 影山康夫 (d06725)

論文題目: 等間隔標本点を用いた多項式近似の一般理論

論文概要

　まず，区間 [0, 1] を n 等分する標本点上の関数値の一次結合で表される （高々）n 次の多項式は全て，位数 n の Bernstein 多項式の高階導関数の 一次結合で表現されることを示す．そして各 n に対して，そのように表現 したときの「係数」に相当する多項式に，ある適切な条件を仮定する．すると， その条件を満たす多項式の列は，被近似関数の微分可能性に応じた高精度の 一様収束性を持ち，一方，被近似関数にその近似多項式を対応させる作用素の ノルムの列は，有界である．さらに，この２つと同様の性質が，近似多項式の 高階導関数についても成り立つ．以上のことを主張する定理が，本研究の理論面 での主要な成果である．
　この定理を土台として，その中の「ある適切な条件」を満たす近似多項式（ それは一意には決まらない）の中で，数学的に最も自然で取り扱いやすい近似 多項式の族を定義する．それは Bernstein 多項式を補正した形をしているので， 「修正 Bernstein 多項式」と名づけ，補正項の個数を「鋭度」と名づける．修正 Bernstein 多項式は，鋭度が 0 のとき通常の Bernstein 多項式となり，鋭度が 無限大のとき Lagrange の補間多項式となる．(すなわち修正 Bernstein 多項式は Bernstein 多項式と Lagrange 多項式の「中間」に位置し，両極端な性質を持つ 両者の「折衷物」である．)　被近似関数が十分滑らかならば，鋭度を上げるほど 収束精度は増すことが定理で保証されているが，一方，作用素のノルムは大きくなり 不安定になる．故に応用上は，収束精度と安定性との折り合いをどこでつけるかが 課題となる．
　修正 Bernstein 多項式を区間 [0, 1] で積分すると，一種の「端補正型の台形則」 となる．(ただし，鋭度が 0 のときは n+1 個の関数値の平均となり，鋭度が 1 の ときに通常の台形則となる．)　端補正型の台形則の重みは，鋭度が 0 や 1 のときは もちろん全て正であるが，一般に，鋭度を大きくすると負の重みが出現する．具体的な 計算の結果，任意の n に対して重みが全て非負となるような最大の鋭度は「８」で あることが分かった．
　Bernstein 多項式はそのままの形では実際の計算に不向きであるが，直交多項式で 展開すると効率よくしかも安定に計算できる．中でも Legendre 多項式が最も相性が 良い．したがって修正 Bernstein 多項式も，Legendre 展開するのが最も実用的である． 展開係数をどう求めるかが問題の核心となるが，実は，それを効率よく計算できる方法 が発見できた．
　「等間隔標本点を用いる高次の多項式近似は実用にならない」という数値解析の常識 を根底からくつがえし，収束精度・安定性・アルゴリズムのどの観点から見ても実用的 な近似法が存在することを示したのが，本研究の総合的な成果である． 　
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