自然現象を記述偏微分方程式を数値的に解くための方法には，差分法や有限 要素法などが知られている．しかし，境界やデータが滑らかでない場合，例えば， 対象とする領域が多角形領域である場合，頂点が解の特異点となることが多い． 問題を高い精度で解くためには，頂点に生じる解の特異性をうまく表現する 必要がある．有限要素法では，頂点の近傍で要素を細分して精度の向上を図る． しかし，そうすることにより，解くべき線形方程式は大規模化し，計算量も記 憶容量も膨大なものが要求される．
本研究では，精度向上のために，角をもつ領域で定義されたPoisson方程 式の境界値問題に対して無限要素法を提案した．また，この方法により 得られた無限次元線形方程式の解を実際には有限次元方程式の解で近似するの で，それに関する打ち切り誤差解析を行った．さらに，提案した解法は自動 的に次元数を決定する機能をもち，高速sine変換を用いることができるので， 高速に近似解を求めることができる．しかしながら，この解法を用いて特異点 が存在する問題を高精度で解くためには，依然として膨大な計算量が必要となる．
境界に特異性が存在する問題に対し，大変有効な解法としてSinc-Galerkin法 が知られている．この方法による離散化誤差は標本点数に対して指数関数的に 減少するという特長をもつ．我々はSchwarz Alternating法とSinc-Galerkin法 を組み合わせ，多角領域で定義されたPoisson方程式の解法を提案した．具体的 には，対象とする領域をいくつかの扇形領域で被い，各扇形領域には角の近傍 における特異性を処理するために2重指数関数型変換公式（DE公式）による Sinc-Galerkin法を用いた．この方法による近似解の精度が非常高いことが 数実験的に確認された．しかし，この方法では，方程式を積分する際に， 積分の標本点幅を効率良く決める方法がなく，また，正則な端点の近傍には 必要以上の標本点を多くとってしまうという欠点がある．
そこで、我々は，扇形領域の動径方向，角度方向の双方にLegendre-Galerkin 法を用いてPoisson方程式を解く方法を提案した．この方法による近似解の誤差 が指数関数的に減少し、きわめて高精度の近似解が得られた．また、Schwarz Alternating法と組み合わせることにより、三角形領域のような多角領域で定義 された問題に対しても大変有効であることが数値実験的に確認できた．